Matriks

Metrika adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dikalkulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

ORDO

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).  Matriks di atas berordo 2x3.

MATRIKS TRANSPOS

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya.

CONTOH

maka matriks transposenya (A^t) adalah

 

KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika a. Ordonya sama 
b. Elemen-elemen yang seletak sama

Contoh:



Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

 maka 

 maka 

 maka 

Penjumlahan dan pengurangan matriks

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau ordo yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

atau dalam representasi dekoratfinya

 

 

Perkalian Skalar

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

Contoh perhitungan :

Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama. Namun dengan syarat, dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jikabanyaknya kolom A = banyaknya baris B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran (memiliki ordo) baris A x kolom B.Jika syarat tersebut tidak dipenuhi (jumlah kolom matriks A tidak sama dengan jumlah bari matriks B) maka kedua matriks tersebut tidak dapat dikalikan.

A _{m x n} x B _{n x p} = C _{m x p}

(jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris kolom B yaitu n)

Contoh perhitungan :

diatas adalah matriks 2x3 dikali matriks 3x2 yang hasilnya adalah matriks 2x2. 


Ket :
perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AxB tidak sama dengan BxA) tetapi bersifatasosiatif (AxB)xC = Ax(BxC).

MATRIKS SATUAN

Matriks satuan adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0. Notasi : I (Identitas)



SIFAT AI = IA = A

DETERMINAN MATRIKSMATRIKS ORDO 2X2

Misalkan:


maka Determinan A (ditulis  ) adalah:




MATRIKS ORDO 3X3
CARA SARRUS

Misalkan:

Jika

 maka tentukan !




Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:

Contoh:

 maka tentukan !





CARA EKSPANSI BARIS KOLOM
Misalkan:


maka tentukan  dengan ekspansi baris pertama!

 

MATRIKS SINGULAR Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.

Contoh:



Jika A matriks singular, tentukan nilai x!

Jawab:

 vs 

MATRIKS INVERSMisalkan: maka inversnya adalah:

• Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
• Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.

Sifat-Sifat
1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-15. A . A^-1 = A^-1 . A = I
Persamaan matriks
Tentukan X matriks dari persamaan:

• Jika diketahui matriks A.X=B

• Jika diketahui matriks X.A=B